Ringkasan Materi LINGKARAN Matematika Kelas 8 Semester 2 SMP + Contoh Soal dan Pembahasannya

Berikut ini adalah ringkasan/rangkuman materi pelajaran matematika kelas 8 [VIII] SMP/MTs semester 2 Kurikulum 2013 revisi 2017 yang disertai dengan penjelasan melalui video pembelajaran daring [online] untuk materi pokok bahasan BAB 7 LINGKARAN.

Materi matematika kelas 8 [VIII] SMP/MTs Kurikulum 2013 edisi revisi 2017 sesuai dengan isi buku yang diterbitkan Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud adalah sebagai berikut.

 

Materi Matematika Kelas 8 Semester 2

👉BAB 6  Teorema Pythagoras

👉BAB 7  Lingkaran

👉BAB 8 Bangun Ruang Sisi Datar

👉BAB 9  Statistika

👉BAB 10 Peluang

 

Adapun daftar Isi materi matematika kelas 9 SMP/MTs semester 1 dan 2 berdasarkan buku paket matematika kelas 8 SMP/MTs Kurikulum 2013 edisi revisi 2017 adalah sebagai berikut.  

 

Bab 7 Lingkaran
7.1 Mengenal Lingkaran

      Ayo Kita Berlatih 7.1 

7.2 Menentukan Hubungan antara Sudut Pusat dan Sudut Keliling  

      Ayo Kita Berlatih 7.2 

7.3 Menentukan Panjang Busur dan Luas Juring 

      Ayo Kita Mengerjakan Projek 7.1 

      Ayo Kita Mengerjakan Projek 7.2 

      Ayo Kita Berlatih 7.3 

7.4a Mengenal Garis Singgung Lingkaran  

7.4b Menentukan Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran  

       Ayo Kita Berlatih 7.4 

7.5 Menentukan Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran 

      Ayo Kita Berlatih 7.5  .

      Ayo Kita Merangkum 7  

Uji Kompetensi 7 

 

 

BAB 7 LINGKARAN

7.1 Mengenal Lingkaran

Lingkaran merupakan salah satu kurva tutup sederhana yang membagi bidang menjadi dua bagian, yaitu bagian dalam dan bagian luar lingkaran.

Nama lingkaran biasanya sesuai dengan nama titik pusatnya. Pada gambar di atas contoh bentuk lingkaran dengan pusat titik P, bisa disebut lingkaran P. Jarak yang tetap antara titik pada lingkaran dengan pusat lingkaran dinamakan jari-jari, biasanya disimbolkan r.
 

 Unsur-unsur Lingkaran

A. Unsur-unsur Lingkaran yang Berupa Garis dan Ciri-cirinya 

1. Busur 

Ciri-ciri busur:

1. Berupa kurva lengkung. 
2. Berhimpit dengan lingkaran. 
3. Jika kurang dari setengah lingkaran [sudut pusat < 180⁰] disebut busur minor. 
4. Jika lebih dari setengah lingkaran [sudut pusat > 180⁰] disebut busur mayor. 
5. Busur setengah lingkaran berukuran sudut pusat = 180⁰. 

Keterangan : 

Untuk selanjutnya, jika tidak disebutkan mayor atau minor, maka yang dimaksud adalah minor.

 

2. Jari-jari

Ciri-ciri jari-jari:

1. Berupa ruas garis. 
2. Menghubungan titik pada lingkaran dengan titik pusat.

 

 3. Diameter

Ciri-ciri diameter:

1. Berupa ruas garis. 
2. Menghubungkan dua titik pada lingkaran. 
3. Melalui titik pusat lingkaran. 

 

4. Tali Busur 

Ciri-ciri tali busur:

1. Berupa ruas garis. 
2. Menghubungkan dua titik pada lingkaran.

5. Apotema

Ciri-ciri apotema :

1. Berupa ruas garis. 
2. Menghubungkan titik pusat dengan satu titik di tali busur. 
3. Tegak lurus dengan tali busur. 

 

B. Unsur-unsur Lingkaran yang Berupa Luasan serta Ciri-cirinya 

1. Juring 

Ciri-ciri juring :

1. Berupa daerah di dalam lingkaran. 

2. Dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur lingkaran. 

3. Jari-jari yang membatasi memuat titik ujung busur lingkaran.

 

 

2.  Tembereng

Ciri-ciri tembereng :

1. Berupa daerah di dalam lingkaran. 

2. Dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran.

Selain istilah yang disajikan, ada satu istilah lagi yang erat kaitannya dengan lingkaran, yaitu sudut pusat. Perhatikan gambar dan ciri-cirinya berikut. 

Sudut Pusat 

Ciri-ciri sudut pusat :

1. Terbentuk dari dua sinar garis [kaki sudut]. 

2. Kaki sudut berhimpit dengan jari-jari lingkaran. 

3. Titik sudut berhimpit dengan titik pusat lingkaran. 

 

Pada gambar di bawah ini sudut pusat AOB  ditulis “∠AOB” atau “α”, sudut pusat JPG ditulis “∠JPG” atau “β”, dan sudut pusat KQJ ditulis “∠KQJ” atau “θ”.

Keterangan: 

Untuk istilah busur, juring, tembereng, maupun sudut, jika tidak disebutkan secara spesifik minor atau mayor, maka kita sepakati minor.

Ayo Kita Berlatih 7.1 

A. Pilihan Ganda 

1. Suatu lingkaran mempunyai jari-jari 10 cm. Pada lingkaran tersebut terdapat tali busur AB, CD, EF, dan GH, dengan panjang berturutturut 10 cm, 12 cm, 14 cm, dan 16 cm. Jika dari titik pusat lingkaran dibuat apotema terhadap masing-masing tali busur, apotema pada tali busur manakah yang terpanjang? 

A. AB      

B. CD       

C. EF     

D. GH 

Jawaban: A

 

2. Diketahui pada suatu lingkaran terdapat empat busur, yaitu busur $\widehat{AB},\widehat{CD},\widehat{EF}$, dan $\widehat{GH}$. Panjang $\widehat{AB}$ > panjang $\widehat{CD}$ > panjang $\widehat{EF}$ > panjang $\widehat{GH}$. Jika pada masing-masing busur tersebut dibuat sudut pusat yang bersesuaian, maka sudut pusat terkecil menghadap busur ....

A. $\widehat{AB}$ 

B. $\widehat{CD}$  

C. $\widehat{EF}$  

D. $\widehat{GH}$ 

Jawaban: D

B. Esai. 

1. Tentukan jari-jari lingkaran yang diketahui diameternya 13 cm. 

Jawaban:

Jawaban: 6,5 cm

 

2. Apakah perpotongan dua diameter selalu di titik pusat? 

Jawaban:

Jawaban: Ya

3. Perhatikan gambar di bawah.

Garis k adalah garis sumbu tali busur AB. 

Garis l adalah garis sumbu tali busur CD. 

Titik P adalah perpotongan garis sumbu k dan l. 

Benarkah perpotongan kedua garis sumbu tersebut tepat di titik pusat? Jelaskan. 

Jawaban:

Jawaban: Ya, kedua sumbu tersebut adalah garis yang berhimpit dengan diameter lingkaran, sehingga perpotongannya tepat di titik pusat

 

4. Adakah tali busur yang lebih panjang dari diameter? Jelaskan. 

Jawaban:

Jawaban: Tidak ada, karena diameter adalah tali busur terpanjang

 

5. Apakah panjang apotema bisa lebih dari jari-jari? Jelaskan. 

Jawaban:

Jawaban: Tidak bisa, karena apotema adalah ruas terpendek yang menghubungkan antara titik pusat dengan tali busur, maka titik pada tali busur tersebut pasti berada di dalam lingkaran [bukan pada lingkaran]. Karena titik tersebut berada di dalam lingkaran, maka panjangnya pasti kurang dari jari-jari [ruas yang menghubungkan antara titik pusat dengan dengan lingkaran].

 

6. Dua atau lebih lingkaran dikatakan konsentris jika berpusat di satu titik yang sama. Sebutkan minimal 3 benda [atau bagian benda] yang memuat hubungan konsentris.

Jawaban:

Benda yang saling konsentris:
a. Sisi dalam dengan sisi luar bingkai pada jam dinding berbentuk lingkaran.
b. Veleg sepeda dengan ban [yang terpasang pada veleg tersebut].
c. Sisi dalam dengan sisi luar ban sepeda.

 

7.2 Menentukan Hubungan antara Sudut Pusat dan Sudut Keliling  

Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berhimpit dengan tali busur, dan titik pusatnya berhimpit dengan suatu titik pada lingkaran.

Perhatikan gambar berikut.

Dari gambar kita dapatkan:

1. Sudut MFN dan sudut MEN merupakan sudut keliling.

2. Sudut MON merupakan sudut pusat.  

3. Sudut MFN dan sudut MEN adalah sudut menghadap busur yang sama yaitu busur MN

4. Sudut MFN dan sudut MON adalah sudut menghadap busur yang sama yaitu busur MN

5. Sudut MEN dan sudut MON adalah sudut menghadap busur yang sama yaitu busur MN

Hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang sama berlaku:

 

$Besar\, Sudut\, Pusat = 2 \times Besar\, Sudut\, Keliling$

$Besar\, Sudut\, Keliling = \frac{1}{2} \times Besar\, Sudut\, Pusat$

 

 

 

Segiempat Tali Busur 

Segiempat tali busur adalah segiempat yang keempat titik sudutnya berimpit dengan suatu lingkaran.

Perhatikan segiempat tali busur ABCD berikut. 

Segiempat ABCD adalah segiempat tali busur karena sisi-sisinya merupakan tali busur lingkaran.

 

Sifat Segiempat Tali Busur:

$Sudut\, A + Sudut\, C = Sudut\, B + Sudut\, D = 180^{\circ}$

$AC \times BD = (AB \times CD)+(BC \times AD)$

 

Ayo Kita Berlatih 7.2 

A. Pilihan Ganda 

1. Diketahui pada lingkaran O, terdapat sudut pusat AOB dan sudut keliling ACB. Jika besar sudut AOB adalah 30⁰, maka besar sudut ACB adalah .... 

A. 15⁰          C. 45⁰

B. 30⁰          D. 60⁰ 

Jawaban:

Jawaban: D

 

2. Diketahui segitiga ABC, dengan titik-titik sudutnya berada pada lingkaran O. Jika sisi AB melalui pusat lingkaran O, maka besar sudut BCA adalah .... 

A. 30⁰         C. 90⁰

B. 45⁰         D. 120⁰

Jawaban:

Jawaban: C

 

B. Esai 

1. Suatu sudut keliling dan sudut pusat menghadap busur yang sama. Jika sudut pusat berukuran 130°, maka besar sudut keliling tersebut adalah ....

Jawaban:

Jawaban: $260^{0}$

 

2. Diketahui sudut pusat POQ dan sudut keliling PAQ sama-sama menghadap busur PQ. Besar sudut PAQ adalah 80°. Tentukan besar sudut POQ. 

Jawaban:

Jawaban: $40^{0}$

 

3. Perhatikan gambar di berikut. 

Diketahui m∠MAN adalah 120°. Tentukan besar m∠MON. 

Jawaban:

Jawaban: $120^{0}$

 

 

4. Perhatikan segiempat PQRS berikut. 

Diketahui m∠PQR = 125°, m∠QRS = 78°. 

Tentukan: 

a. m∠SPQ 

b. m∠RSP 

Jawaban:

a. $m\angle SPQ=102^{0}$
b. $m\angle RSP=65^{0}$

 

 

5. Perhatikan lingkaran O di bawah ini. 

Diketahui m∠BAD = x + 20, m∠BCD  = 3x 

Tentukan: 

a. m∠BOD minor 

b. m∠BOD mayor 

Jawaban:

a. $m\angle SPQ\, minor=120^{0}$
b. $m\angle SPQ\, mayor=240^{0}$

 

 

6. Suatu lingkaran dibagi menjadi tiga sudut pusat dengan perbandingan 3 : 5 : 10. Tentukan ukuran masing-masing sudut pusat tersebut. 

Jawaban:

Jawaban: 60 : 100 : 200

 

7. Sudut pusat 1, 2, dan 3 mempunyai perbandingan 2 : 3 : 4. 

Tentukan ukuran masing-masing sudut pusat tersebut.

Jawaban:

Jawaban: 80 : 120 : 160

 

 

7.3 Menentukan Panjang Busur dan Luas Juring 

Perhatikan bagian yang berwarna merah pada gambar berikut.

Dari ilustrasi di atas kita bisa amati panjang busur AB bersesuaian dengan sudut pusat α, begitupun luas juring AOB bersesuaian dengan sudut pusat α. Ukuran sudut pusat lingkaran adalah antara 0° hingga 360°. 

 

 

Keliling dan Luas Lingkaran

 

$Keliling\, Lingkaran = 2\pi r = \pi d$

 

$Luas\,lingkaran = \pi r^{2}$

 

Keterangan;

r = jari-jari lingkaran

d = diameter lingkaran

$\pi =\frac{22}{7}=3,14$

Menentukan Panjang Busur

Perhatikan gambar berikut

Panjang busur AB adalah:

 

$Panjang\, Busur\, AB = \frac{\alpha }{360^{\circ}}\times 2\pi r$

$\alpha =\angle AOB$

Menentukan Luas Juring

Perhatikan gambar berikut.

Luas juring AOB adalah:

$Luas\, Juring\, AOB = \frac{\alpha }{360^{\circ}}\times \pi r^{2}$

$\alpha =\angle AOB$

Ayo Kita Berlatih 7.3 

A. Pilihan Ganda

 
1. Suatu kue berbentuk lingkaran padat dengan jari-jari 14 cm. Kue tersebut dibagi menjadi 6 bagian berbentuk juring yang sama bentuk. Ukuran sudut pusat masing masing potongan adalah .... 

A. 30⁰              C. 50⁰

B. 45⁰              D. 60⁰

Jawaban:

Jawaban: D

2. Diketahui suatu juring lingkaran dengan ukuran sudut pusat 180⁰. Jika luas juring tersebut adalah 157 cm2, maka diameter lingkaran tersebut adalah ... cm. (π = 3,14) 

A. 10                C. 100 

B. 20                D. 200

Jawaban:

Jawaban: B

 

3. Luas juring lingkaran dengan jari-jari 21 cm dan sudut pusat 30⁰ adalah ... cm2. $(\pi =\frac{22}{7})$

A. 1,155           C. 115,5 

B. 11,55           D. 1.155

Jawaban:

Jawaban: C

 

4. Diketahui empat lingkaran berbeda dengan pusat A, B, C, dan D. Luas keempat lingkaran tersebut jika diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar adalah lingkaran A, lingkaran B, lingkaran C, kemudian lingkaran D. Keliling lingkaran yang terbesar kedua adalah .... 

A. lingkaran A         C. lingkaran C 

B. lingkaran B         D. lingkaran D 

Jawaban:

Jawaban: B

 

5. Diketahui terdapat tiga lingkaran dengan ukuran berbeda. Jari lingkaran kedua sama dengan dua kali lingkaran pertama. Jari-jari lingkaran ketiga sama dengan tiga kali lingkaran pertama. Jika K1, K2, dan K3 berturut-turut menyatakan keliling lingkaran ke-1, keliling lingkaran ke-2, dan keliling lingkaran ke-3, maka hubungan ketiga keliling lingkaran tersebut adalah .... 

A. K1  + K2  > K3  

B. K1  + K2  < K3  

C. K1  + K2  = K3 

D. Tidak ada hubungan ketiganya 

Jawaban:

Jawaban: C

 

 

6. Diketahui terdapat tiga lingkaran dengan ukuran berbeda. Jari lingkaran kedua sama dengan dua kali lingkaran pertama. Jari-jari lingkaran ketiga sama dengan tiga kali lingkaran pertama. Jika  L1, L2, dan L3 berturut-turut menyatakan luas lingkaran ke-1, luas lingkaran ke-2, dan luas lingkaran ke-3, maka hubungan ketiga luas ketiga lingkaran tersebut adalah .... 

A. L1  + L2  > L3 

B. L1  + L2  < L3

C. L1  + L2  = L3    

D. Tidak ada hubungan ketiganya 

Jawaban:

Jawaban: B

 

 

7. Suatu satelit beredar mengelilingi bumi pada ketinggian 2.000 km dari permukaan bumi. Jika perkiraan diameter bumi adalah 12.800 km, maka taksiran terbaik untuk menyatakan panjang lintasan yang ditempuh satelit tersebut untuk satu kali mengorbit mengelilingi bumi adalah .... 

A. 46.500 km         C. 52.800 km 

B. 465.000 km       D. 528.000 km

Jawaban:

Jawaban: B

 

8. Suatu lingkaran memiliki luas 16π cm². Keliling lingkaran tersebut adalah .... 

A. 4π cm          C. 16π cm 

B. 8π cm          D. 32π cm 

Jawaban:

Jawaban: B

 

9. Suatu restoran menjual dua jenis pizza. Luas pizza besar sama dengan 9 kali luas pizza kecil. Jari-jari pizza besar sama dengan ... kali jari-jari pizza kecil. 

A. 2              C. 6 

B. 3              D. 9

Jawaban:

Jawaban: B

 

7.4a Mengenal Garis Singgung Lingkaran  

Perhatikan garis berwarna merah dan banyak titik pada lingkaran yang dipotong oleh garis pada gambar di bawah ini. 

 

Perhatikan gambar di bawah.

Jika AB garis singgung dan A titik singgung maka AB tegak lurus dengan AO. 

Dengan demikian sudut yang terbentuk antara jari-jari lingkaran dengan garis singgung adalah siku-siku [90°]

7.4b Menentukan Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran  

Perhatikan gambar garis singgung persekutuan luar dua lingkaran berikut.

Garis FH merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan Q. 

 

Dari gambar di atas didapat. 

1. Ruas garis FH tegak lurus dengan jari-jari FP dan HQ. 

2. Kita dapat membuat garis yang menghubungkan titik Q dengan titik S pada PF, sedemikian sehingga SF = $(r_{2})$. 

 

Berikut ini gambar yang diperoleh setelah dibuat ruas garis QS. Perhatikan segiempat SQHF. 

1. Panjang SF = HQ = $(r_{2})$

2. ∠SFH dan ∠QHF sama-sama sudut siku-siku.
 

Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan Q adalah sebagi berikut.

FH adalah garis singgung persekutuan luar. Jari-jari lingkaran P adalah $r_{1}$, dan jari-jari lingkaran Q adalah $r_{2}$. PQ adalah jarak dua pusat lingkaran. 

 

Ditarik garis SQ tegak lurus PF sehingga FHQS adalah persegi panjang dan FH = SQ.

Segitiga PSQ adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema Pythagoras.

 

$SQ^{2}=PQ^{2}-PS^{2}$

 

$SQ=\sqrt{PQ^{2}-PS^{2}}$

 

$SQ=\sqrt{PQ^{2}-(r_{1}-r_{2})^{2}}$ 

 

Karena panjang SQ = FH = garis singgung persekutuan luar, maka panjang garis singgung persekutuan luar [FH] adalah:

$FH=\sqrt{PQ^{2}-(r_{1}-r_{2})^{2}}$

 

 

Contoh: 

Jika dari gambar di atas diketahui jari-jari lingkaran P $(r_{1})$ = 8 cm,   jari-jari lingkaran Q $(r_{2})$ = 3 cm, dan jarak dua pusat lingkaran P dan Q 13 cm, tentukan panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran [FH].

Alternatif Penyelesaian:

 

$FH=\sqrt{13^{2}-(8-3)^{2}}$

 

$FH=\sqrt{169-25}$

 

$FH=\sqrt{144}$ 

$FH=12$

 

Jadi panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran itu adalah 12 cm.

 

Ayo Kita Berlatih 7.4 

A. Pilihan Ganda 

1. Sudut yang terbentuk antara diameter dengan garis singgung lingkaran adalah .... 

A. lancip             C. tumpul 

B. siku-siku        D. tidak pasti

Jawaban:

Jawaban: B

2. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 20 cm. Lingkaran A dan B memiliki jari-jari berturut-turut 22 cm dan 6 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah ... cm. 

A. 9 cm              C. 17 cm 

B. 12 cm            D. 30 cm

Jawaban:

Jawaban: B

 

3.  Pada gambar di samping, suatu busur dibuat dengan pusat P dan memotong garis di titik Q. Kemudian dengan jari-jari yang sama, dibuat busur dengan pusat Q, sedemikian hingga memotong busur pertama di titik R. Dari titik P, Q, dan R, dibuat sudut PRQ. Ukuran sudut yang terbentuk dari sudut PRQ adalah ....  

A. 30°                 C. 60° 

B. 45°                 D. 75° 

Jawaban:

Jawaban: C

4.  Pada gambar berikut, ABCD adalah suatu persegi panjang. Lingkaran P dan Q adalah lingkaran yang sisi-sisinya saling bersinggungan dengan sisi persegi panjang. 

Jika jari-jari masing-masing lingkaran tersebut adalah 5 cm, maka luas persegi panjang adalah .... 

A. 50 cm2          C. 100 cm2 

B. 60 cm2          D. 200 cm2

Jawaban:

Jawaban: D

 

5. Diketahui dua lingkaran berbeda. Jari-jari lingkaran pertama adalah 15 cm, sedangkan jari-jari lingkaran kedua adalah 8 cm. Jika jarak pusat kedua lingkaran tersebut adalah 25 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah ... cm 

A. 23 cm           C. 25 cm 

B. 24 cm           D. 26 cm
Jawaban:

Jawaban: B

 

 B. Esai 

1. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 10 cm. Lingkaran A dan B memiliki jari-jari berturut-turut 11 cm dan 3 cm. Tentukan: 

a. panjang garis singggung persekutuan luarnya [jika ada]; 

b. sketsa gambarnya [lengkap dengan garis singgung persekutuan luarnya, jika ada].
 

2. Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran C dan D adalah 24 cm. Jari-jari lingkaran C dan D berturut-turut 15 cm dan 8 cm. Tentukan: 

a. jarak pusat kedua lingkaran tersebut [jika ada]; 

b. jarak kedua lingkaran tersebut [jika ada].
 

3. Diketahui jarak antara lingkaran E dan F adalah 5 cm. Lingkaran E dan F memiliki jari-jari berturut-turut 13 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut. [jika ada]
 

4. Diketahui jumlah diameter lingkaran G dan H adalah 30 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm. Sedangkan jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 26 cm. Tentukan: a. jari-jari kedua lingkaran tersebut, b. jarak kedua lingkaran.
 

5. Diketahui jarak pusat lingkaran I dan J adalah 12 cm. Lingkaran I memiliki jari-jari 8 cm. Tentukan jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J. Jelaskan alasanmu.

 

 

 

 

7.5 Menentukan Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran  

Perhatikan gambar garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut.

Garis $FI$ merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran P dan Q.

 

Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran P dan Q, kita perlu mengumpulkan beberapa informasi penting. 

1. Garis singgung $FI$ menyinggung lingkaran P dan Q masing-masing tepat di satu titik. 

2. Dari titik F dan P dapat dibuat jari-jari lingkaran P sepanjang $(r_{1})$ dan siku-siku dengan $FI$.

3. Dari titik I dan Q dapat dibuat jari-jari lingkaran Q sepanjang $(r_{2})$  dan siku-siku dengan $FI$. 

  

 

Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran P dan Q adalah sebagi berikut.

$FI$  adalah garis singgung persekutuan dalam. 

Garis $FI$ tegak lurus dengan jari-jari PF dan QI. 

Jari-jari lingkaran P adalah $r_{1}$, dan jari-jari lingkaran Q adalah $r_{2}$. 

PQ adalah jarak dua pusat lingkaran. 

 

ZQ sejajar FI dan memotong perpanjangan garis PF di Z sehingga FIQZ adalah persegi panjang. $FI=ZQ$.

Segitiga PQZ adalah segitiga siku-siku di Z sehingga berlaku teorema Pythagoras.

 

$ZQ^{2}=PQ^{2}-PZ^{2}$

 

$ZQ=\sqrt{PQ^{2}-PZ^{2}}$

 

$ZQ=\sqrt{PQ^{2}-(r_{1}+r_{2})^{2}}$ 

 

Karena panjang $ZQ=FI$ = garis singgung persekutuan dalam, maka panjang garis singgung persekutuan dalam $(FI)$ adalah:

$FI=\sqrt{PQ^{2}-(r_{1}+r_{2})^{2}}$

 

Contoh: 

Jika dari gambar di atas diketahui jari-jari lingkaran P $(r_{1})$ = 5 cm,   jari-jari lingkaran Q $(r_{2})$ = 3 cm, dan jarak dua pusat lingkaran P dan Q 17 cm, tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya $(FH)$.

Alternatif Penyelesaian:

 

$FI=\sqrt{17^{2}-(5+3)^{2}}$

 

$FI=\sqrt{289-64}$

 

$FI=\sqrt{225}$ 

$FI=15$

 

Jadi panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran itu adalah 15 cm.

Ayo Kita Berlatih 7.5  

A. Pilihan Ganda 

 

1. Diketahui dua lingkaran berbeda dengan jarak antarpusatnya 10 cm. Jika panjang diameter lingkaran pertama adalah 8 cm, maka panjang diameter maksimal agar kedua lingkaran tersebut memiliki garis singgung persekutuan dalam adalah .... 

A. 11 cm          C. 13 cm 

B. 12 cm          D. 14 cm

Jawaban:

Jawaban: B

 

2. Diketahui dua lingkaran berbeda. Jari-jari lingkaran pertama adalah 2,5 cm, sedangkan jari-jari lingkaran kedua adalah 4,5 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 24 cm, maka jarak pusat kedua lingkaran adalah ... cm. 

A. 25               C. 29 

B. 27               D. 31

Jawaban:

Jawaban: A

 

3. Diketahui dua lingkaran berbeda. Jari-jari lingkaran pertama adalah 20 cm, sedangkan jari-jari lingkaran kedua adalah 10 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 40 cm, maka jarak pusat kedua lingkaran adalah ... cm. 

A. 20            C. 40 

B. 30            D. 50 

Jawaban:

Jawaban: D

 

4. Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari sama, yaitu 4,5 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 15 cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran adalah ... cm. 

A. 10            C. 15 

B. 12            D. 16 

Jawaban:

Jawaban: B

 

 

B. Esai 

 

1. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 15 cm. Lingkaran A dan B memiliki jari-jari berturut-turut 5 cm dan 4 cm. Tentukan: 

a. panjang garis singggung persekutuan dalamnya. [jika ada] 

b. sketsa gambarnya [lengkap dengan garis singgung persekutuan dalamnya, jika ada] 

 

2. Diketahui panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran C dan D adalah 12 cm. Jari-jari lingkaran C dan D berturut-turut 1,5 cm dan 2 cm. Tentukan: 

a. jarak pusat kedua lingkaran tersebut. [jika ada] 

b. jarak kedua lingkaran tersebut. [jika ada] 

 

3. Diketahui jarak antara lingkaran E dan F adalah 5 cm. Lingkaran E dan F memiliki jari-jari berturut-turut 13 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut. [jika ada] 

 

4. Diketahui selisih diameter lingkaran G dan H adalah 10 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 20 cm. Sedangkan jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 25 cm. Tentukan: 

a. jari-jari kedua lingkaran tersebut. 

b. jarak kedua lingkaran. 

 

5. Diketahui jarak pusat lingkaran I dan J adalah 30 cm. Lingkaran I memiliki jari-jari 8 cm. Tentukan jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan dalam antara lingkaran I dan J. Jelaskan alasanmu.

 

Uji Kompetensi 7

A. Pilihan Ganda

1. Diketahui suatu juring lingkaran dengan ukuran sudut pusat 90o. Jika luas juring tersebut adalah 78,5 cm2, maka jari-jari lingkaran tersebut adalah .... (π = 3,14) 

A. 7 cm                      C. 49 cm 

B. 10 cm                    D. 100 cm 

Jawaban:

Jawaban: A