Rangkuman Materi GARIS Dan SUDUT Matematika Kelas 7 [VII] Semester 2 SMP Kurikulum 2013 + Pembahasan Soal

Berikut ini adalah ringkasan/rangkuman materi pelajaran kelas 7 ]VII] SMP/MTs semester 2 Kurikulum 2013 revisi 2017 yang disertai dengan penjelasan melalui video pembelajaran daring [online] untuk materi pokok bahasan BAB 7 GARIS DAN SUDUT. 

Materi matematika kelas 7 [VII] SMP/MTs Kurikulum 2013 edisi revisi 2017 sesuai dengan isi buku yang diterbitkan Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud. 

Materi Matematika Kelas 7 SMP/MTs Semester 2 berdasarkan kurikulum 2013 edisi revisi 2017 adalah sebagai berikut.

Materi Matematika Kelas 7 Semester 2

👉BAB 5 Perbandingan

👉BAB 6 Aritmatika Sosial

👉BAB 7 Garis dan Sudut

👉BAB 8 Segiempat dan Segitiga

👉BAB 9 Penyajian Data

Adapun daftar Isi materi matematika kelas 7 SMP/MTs semester 1 dan 2 berdasarkan buku paket matematika kelas 7 SMP/MTs Kurikulum 2013 edisi revisi 2017 adalah sebagai berikut. 

BAB 7 Garis Dan Sudut Kegiatan 

7.1 Hubungan Antar Garis

      Ayo Kita Berlatih 7.1

7.2 Membagi Ruas Garis Menjadi Beberapa Bagian Sama Panjang

      Ayo Kita Berlatih 7.2

7.3 Mengenal Sudut

      Ayo Kita Berlatih 7.3  

7.4 Hubungan Antar Sudut

      Ayo Kita Berlatih 7.4

7.5 Melukis Sudut Istimewa 

      Ayo Kita Berlatih 7.5

Ayo Kita Mengerjakan Tugas Projek 7 

Ayo Kita Merangkum 7

Uji Kompetensi 7  

 

BAB 7 GARIS DAN SUDUT

7.1 Hubungan Antar Garis 

A. Hubungan Antara Titik, Garis, dan Bidang 

Dalam ilmu Geometri, terdapat beberapa istilah atau sebutan yang tidak memiliki definisi [undefined    terms], antara lain, titik, garis, dan bidang. Meskipun ketiga istilah tersebut tidak secara formal didefinisikan, sangat penting disepakati tentang arti istilah tersebut. Perhatikan gambar berikut ini.
 

Titik dan garis:

• Sebuah titik hanya dapat ditentukan letaknya, tetapi tidak mempunyai panjang dan lebar [tidak mempunyai ukuran/besaran]. 
• Titik dapat digambarkan dengan memakai tanda noktah. 
• Sebuah titik dinotasikan atau diberi nama dengan huruf kapital, misalkan titik A, titik B, titik C, dan sebagainya. 
• Adapun garis direpresentasikan oleh suatu garis lurus dengan dua tanda panah di setiap ujungnya yang mengindikasikan bahwa garis tersebut panjangnya tak terbatas. 
• Sebuah garis dapat dinotasikan dengan huruf kecil, misalkan garis k, garis l, garis  m, garis n, dan sebagainya.

1. Hubungan Titik dan Garis

Hubungan antara titik dan garis dapat terjadi dalam dua kondisi. 

a). titik terletak pada garis

b). titik terletak di luar garis.

 

2. Hubungan Antara Titik dan Bidang 

Hubungan titik dengan bidang dapat terjadi dalam dua kondisi:

a). Titik terletak pada bidang.

b). Titik terletak di luar bidang.

 

 

3. Hubungan Antara Garis dan Bidang 

Hubungan antara garis dan bidang dapat diklasifikasikan menjadi tiga, yaitu: 

1) garis terletak pada bidang, 

2) garis tidak pada bidang, dan 

3) garis menembus/memotong bidang. 

 

4. Titik-titik segaris 

Dua titik atau lebih dikatakan segaris jika titik-titik tersebut terletak pada garis yang sama. Pada Gambar di bawah titik A dan titik B dikatakan segaris, karena sama-sama terletak pada garis l. Sedangkan istilah titik-titik segaris bisa disebut kolinear

 

 

5. Titik-titik sebidang 

Dua titik atau lebih dikatakan sebidang jika titik-titik tersebut terletak pada bidang yang sama. Pada Gambar 7.7 titik C dan titik D dikatakan sebidang, karena sama-sama terletak pada bidang β. Sedangkan istilah titik-titik sebidang bisa disebut koplanar

 

 

 

Gambar 7.8 di bawah ini adalah garis yang melalui titik A dan B disebut garis AB, dinotasikan $\overleftrightarrow{AB}$ . Tanda panah pada kedua ujung $\overleftrightarrow{AB}$ artinya dapat diperpanjang sampai tak terbatas.

 

Gambar 7.9 di bawah ini adalah ruas garis [segmen] AB, disimbolkan $\overline{AB}$, dengan titik A dan B merupakan titik ujung ruas garis AB. $\overline{AB}$ merupakan bagian dari $\overleftrightarrow{AB}$.

 

 

 

Gambar 7.10 di bawah ini adalah sinar garis AB, disimbolkan $\overline{AB}$, memiliki titik pangkal A, tetapi tidak memiliki titik ujung. Sinar  garis $\overline{AB}$ merupakan bagian dari garis $\overline{AB}$.

 

 

Perlu diingat bahwa $\overleftrightarrow{AB}$ sama dengan $\overleftrightarrow{BA}$, segmen $\overline{AB}$ sama dengan segmen $\overline{BA}$, tetapi $\overrightarrow{AB}$ tidak sama dengan $\overrightarrow{BA}$.

Jika titik C terdapat di antara  titik A dan B, maka $\overrightarrow{CA}$ dan $\overrightarrow{CB}$ merupakan dua
sinar yang berlawanan.

 

 

B. Kedudukan Dua Garis

Untuk dapat memahami tentang materi kedudukan dua garis dengan baik, coba lakukan kegiatan pada Tabel 7.1 berikut. 

 

 

Keterangan: 

Notasi dari dua garis berpotongan adalah × 

Notasi dari dua garis sejajar adalah // 

Notasi dari dua garis berpotongan tegak lurus adalah ⊥

 

 

Ayo Kita Berlatih 7.1

1. Bagaimana keberadaan titik dengan garis, titik dengan bidang, dan garis dengan bidang? Jelaskan. 

 

2. Sebuah garis dan bidang tidak terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan, maka irisan keduanya menghasilkan, 

a. sebuah titik 

b. dua titik   

c. tak hingga titik 

d. himpunan kosong 

 

3. Terdapat dua bidang saling berpotongan dan tidak berhimpitan, maka perpotongannya berbentuk, 

a. titik  

c. bidang 

b. garis   

d. ruang

 

4. Perhatikan gambar berikut.

a. Diketahui Gambar (a) adalah garis AB. Jelaskan apakah titk C terletak pada garis AB? 

 

b. Diketahui Gambar (b) adalah segmen garis PQ. Jelaskan apakah titk R terletak pada segmen garis PQ? Jelaskan juga apakah titk S terletak pada segmen garis PQ? 

 

c. Diketahui Gambar (c) adalah sinar garis KL. Jelaskan apakah titk M dan P terletak pada sinar garis KL? Jelaskan juga apakah titk N dan O terletak pada sinar garis KL?

 

5. Bagaimana menurut pendapat kalian apakah boleh kita mengatakan 

a. Garis adalah kumpulan titik-titik ?  

b. Bidang adalah kumpulan titik-titik ? 

c. Bidang adalah kumpulan garis-garis ?  

d. Ruang adalah kumpulan garis-garis ? 

Kemukakan alasan dari setiap jawaban kalian. 

 

6. Pernyataan yang salah dari pendapat berikut adalah . . . 

a. dua garis sejajar tidak mempunyai titik potong 

b. garis l sejajar bidang α apabila garis-garis yang terletak pada bidang α tidak berpotongan dengan garis l 

c. garis l tegak lurus bidang α apabila garis l tegak lurus garis-garis yang terletak pada bidang α 

 

 

7.2 Membagi Ruas Garis Menjadi Beberapa Bagian Sama Panjang 

a. Membagi Garis Menjadi Beberapa Bagian Sama Panjang 

Gunakan penggaris untuk membagi sebuah ruas garis menjadi beberapa bagian sama panjang, kemudian ikutilah langkah-langkah pada Tabel 7.2 berikut ini. 

 

Tabel 7.2 Membagi Garis AB Menjadi 5 Bagian Sama Panjang 

b. Membagi Garis Menjadi 2 Bagian dengan Perbandingan 1 : 3 

Gunakan penggaris untuk membagi sebuah ruas garis menjadi 2 bagian dengan perbandingan 1 : 3, kemudian ikutilah langkah-langkah pada Tabel 7.3 berikut ini. 

 

Tabel 7.3 Membagi Garis AB Menjadi 2 Bagian dengan Perbandingan 1 : 3 

Contoh 1

Perhatikan gambar berikut. 

Tentukan panjang CQ.
 

Penyelesaian Alternatif
Diketahui pada gambar di atas bahwa QR//CI, sehingga didapat: 

PC : CQ  = PI : IR 

2,7 : CQ  = 3 : 4 

   2,7 × 4 = CQ × 3  

       10,8 = 3CQ 

        CQ = 3,6 

Jadi, panjang CQ adalah 3,6 cm

Ayo Kita Berlatih 7.2

1. Salinlah dua garis berikut

 

Kemudian dengan menggunakan jangka dan penggaris bagilah masing-masing garis menjadi 7 bagian yang sama panjang

 

 

2. Salinlah dua garis berikut 

 Kemudian bagilah masing-masing garis dengan perbandingan 2 : 3.
 

 

3. Diketahui panjang ruas garis AB adalah 12 cm. Bagilah ruas garis AB tersebut menjadi 5 bagian sama panjang
 

 

4. Perhatikan gambar berikut.

Tentukan nilai p.

 

 

5. Perhatikan gambar berikut.

Tentukan nilai x.

 

6. Perhatikan gambar  berikut

 Tentukan nilai x dan y.

 

7. Perhatikan gambar  berikut

Tentukan panjang AB.

 

8. Perhatikan gambar di bawah.

Diketahui titik E, F, dan G pada trapesium ABCD. Sisi FE sejajar dengan sisi AB. Jika AB = 7, DC = 14, DG = 8, FG = 4, GB = x , dan GE = y , maka nilai x + y adalah …  [OSK SMP 2014]

a. 10 

b. 11 

c. 12 

d. 13 

 

9. Perhatikan gambar berikut. 

Diketahui Trapesium ABCD, dengan AB//DC//PQ.  Jika perbandingan AQ : QC = BP : PD = 3 : 2. Tentukan panjang ruas garis PQ

 

 

7.3 Mengenal Sudut 

A. Menemukan Konsep Sudut

Hubungan sinar garis dan  titik sudut diilustrasikan sebagai berikut.

Gambar 7.18 : Sudut yang terbentuk oleh dua sinar garis

Suatu sudut terbentuk dari perpotongan dua sinar garis yang berpotongan tepat di satu titik, sehingga titik potongnya disebut dengan titik sudut. Nama suatu sudut dapat berupa simbol α, β, dll, atau berdasarkan titik titik yang melalui garis yang berpotongan tersebut. 

Biasanya, satuan sudut dinyatakan dalam dua jenis, yaitu derajat ("°") dan radian (rad). ∠APB bisa juga disebut ∠P, dan besar sudut P dilambangkan dengan m∠P. 

Keterangan: 

Besar sudut satu putaran penuh adalah 360°

 

B. Menentukan Besar Sudut yang Dibentuk oleh Jarum Jam

Contoh 7.7
Tentukan ukuran sudut yang dibentuk oleh jarum jam dan jarum menit ketika menunjukkan pukul 02.00. 

 

Alternatif Penyelesaian:
Dengan memperhatikan Gambar, kita dapat melihat bahwa pada pukul 02.00, jarum jam menunjuk ke arah bilangan 2 dan jarum menit menunjuk ke arah bilangan 12, sehingga sudut yang terbentuk adalah $\frac{1}{6}$ putaran penuh.

$\frac{1}{6}$ × 360 = 60° 

 

Jadi sudut yang terbentuk oleh jarum jam dan jarum menit ketika pukul 02.00 adalah 60°. 

 

Selanjutnya, mari kita cermati pengukuran sudut yang terbentuk oleh jarum jam dan jarum menit pada waktu-waktu yang lain. 

 

Perputaran selama 12 jam jarum jam berputar sebesar 360°, akibatnya pergeseran tiap satu jam adalah $\frac{360^{\circ}}{12}=30^{\circ}$.

 

Contoh 7.8
Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh jarum jam dan jarum menit ketika menunjukkan pukul 06.00.

Alternatif Penyelesaian:
Kalian dapat dengan mudah menentukan besar sudut yang ditunjukkan saat pukul 06.00. 

Jarum pendek menghasilkan ukuran sudut. 

6 × 30° = 180° 

Sedangkan jarum panjang membentuk sudut, 0 × 30° = 0° 

 

Jadi, sudut yang terbentuk adalah 180° + 0 = 180° 

 

Contoh 7.9 

Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh jarum jam dan jarum menit ketika jarum menunjukkan pukul 03.25.

 

Alternatif Penyelesaian:
Dengan aturan jarum jam dan jarum menit, kita dapat menentukan besar sudut yang terbentuk,
saat pukul 03.25. 

Perhatikan jarum jam [warna merah muda]. Jarum tersebut menunjukkan 3 jam lebih 25 menit, dapat ditulis 3\frac{25}{60} jam. Karena tiap satu jam, jarum jam bergerak 30°, maka

$3\frac{25}{60}\times 30^{\circ}=3\times 30^{\circ}+\frac{25}{60}\times 30^{\circ}$  

 

= 90° + 12,5° = 102,5° 

 

Jarum menit [warna biru] menunjuk bilangan 5, sehingga besar sudutnya adalah 

5 × 30° = 150° 

150 − 102,5 = 47,5° 

 

Jadi, besar sudut yang terbentuk pada saat pukul 03.25 adalah 47,5°.

 

 

C. Penamaan Sudut 

Perhatikan gambar.

Dari gambar di atas didapat:

✅ BA dan BC disebut kaki sudut. 
✅ Titik B adalah titik sudut. 

Secara umum, ada dua penamaan sudut, yaitu: 

👉 Titik B dapat dikatakan sebagai titik sudut B. Ingat, penulisannya selalu menggunakan huruf kapital. 

👉 Sudut yang terbentuk pada gambar di samping dapat juga disimbolkan dengan ∠ABC atau ∠CBA atau ∠B.
 

Pada setiap sudut yang terbentuk, harus kita tahu berapa besar derajat sudutnya. Secara manual, kita dapat menggunakan alat ukur sudut yaitu busur. Alat ini dapat membantu kita mengukur suatu sudut yang sudah terbentuk dan membentuk besar sudut yang akan digambar.

 

Terdapat ukuran sudut standar yang perlu kita ketahui, seperti yang disajikan pada gambar di bawah ini.

 

Jenis-Jenis Sudut 

1. Sudut Siku-Siku: ukuran sudutnya 90° 

2. Sudut Lancip: ukuran sudutnya antara 0° dan 90° 

3. Sudut Tumpul: ukuran sudutnya antara 90° dan 180° 

4. Sudut Lurus: ukuran sudutnya 180° 

5. Sudut Reflek: ukuran sudutnya antara 180° dan 360°

 

Ayo Kita Berlatih 7.3   

1. Sudut didefinisikan sebagai ....

a.  dua sinar garis yang berpotongan 

b.  dua sinar garis yang bersekutu pada pangkalnya 

c.  dua garis yang berpotongan 

d.  dua garis berimpit 

 

2. Perhatikan gambar di bawah ini. Ukurlah besar sudut yang diberi tanda.
 

3. Tentukan banyak sudut dari gambar di bawah ini.

4. Pada setiap gambar berikut, tampak sinar-sinar yang tidak segaris dan berpangkal pada titik yang sama.

a. Tentukan banyak sudut yang terbentuk pada setiap gambar di atas dan tulislah jawabanmu pada titik-titik [ ... ] di atas! 

 

b. Apakah kamu melihat adanya suatu pola dari bilangan yang menyatakan banyak sudut itu? Berapakah banyak sudut yang terbentuk jika sinarnya 7 buah? 

 

c. Tulislah suatu rumus yang menyatakan banyaknya sudut yang terbentuk jika banyak sinar n buah.
 

 

5. Nyatakanlah setiap sudut di bawah ini, apakah termasuk sudut lancip, tumpul, atau siku-siku. Serta gambarkan setiap sudut tersebut!
a. $\frac{1}{3}$ sudut lurus
b. $\frac{2}{5}$ putaran penuh
c. 180° − $\frac{5}{6}$ sudut lurus

6. Hitung sudut terkecil dari jarum jam berikut ini! 

a. Pukul 04.30 

b. Pukul 07.20 

c. Pukul 05.12 

d. Pukul 09.01 

e. Pukul 10.40 

7. Untuk satu hari satu malam [24 jam], ada berapa kali ukuran sudut sebesar: 

a. 90° 

b. 150° 

c. 180°
 

8. 

a.  Pada pukul berapa saja jarum panjang dan pendek membentuk sudut 90°? 

b.  Pada pukul berapa saja jarum panjang dan jarum pendek membentuk sudut 180°?

9. Tentukan jenis sudut pada gambar berikut tanpa mengukurnya.

10. Jawablah pertanyaan berikut ini disertai dengan memberikan contoh. 

a.  Apakah dua sudut lancip ukurannya pasti sama? Jelaskan alasan kalian. 

b.  Apakah dua sudut siku-siku ukurannya pasti sama? Jelaskan alasan kalian. 

c.  Apakah dua sudut tumpul ukurannya pasti sama? Jelaskan alasan kalian.

7.4 Hubungan Antar Sudut

A. Sudut Berpelurus dan Sudut Berpenyiku

Gambar Sudut Berpelurus dan Sudut Berpenyiku

Contoh 7.10 :

Perhatikan gambar di bawah.

Gambar di atas menunjukkan bahwa bahwa: 

m∠AOB = r°; m∠BOC = s° 

m∠AOB + m∠BOC   = 90°. 

m∠AOB  = 90° – m∠BOC  

m∠BOC  = 90° – m∠AOB 

Hubungan antara m∠BOC dan m∠AOB disebut sudut berpenyiku. 

 

 

Contoh 7.11
Perhatikan gambar di bawah.

Gambar di atas menunjukkan bahwa, 

t +  u = 180° 

t = 180° – u 

u = 180° – t

Hubungan sudut AOB dengan sudut BOC disebut sudut berpelurus.

Ayo
 

B. Pasangan Sudut yang Saling Betolak Belakang

Mari perhatikan gambar berikut ini.

Pasangan ∠AOB dan ∠COD dan pasangan ∠BOC dan ∠AOD merupakan sudut-sudut bertolak belakang. 

Selain itu, pada gambar tersebut, ∠AOB dan ∠BOC adalah pasangan sudut berpelurus, sedemikian sehingga berlaku: 

m∠AOB + m∠BOC = 180º, maka m∠BOC = 180º − m∠AOB.  (1) 

m∠AOB + m∠AOD = 180º, maka m∠AOD = 180º − m∠AOB.  (2) 

Dari (1) dan (2), berlaku bahwa, m∠BOC = m∠AOD = 180º − m∠AOB.   

Dengan cara yang sama, dapat diperoleh ∠AOB dan ∠COD adalah pasangan sudut yang bertolak belakang dan besarnya sama.

 

Contoh

Perhatikan gambar di bawah ini. 

Tentukanlah nilai x × y + z.
 

Alternatif Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus memahami pasangan sudut yang saling bertolak belakang. Pasangan-pasangan sudut bertolak belakang dari gambar sebagai berikut. 

•  68 sama besar dengan 5z + 3 bertolak belakang 

    68 = 5z + 3 

      z =13 

 

•  120 sama besar dengan 2x  bertolak belakang 

   2x = 120 

     x = 60 

 

•  3y sama besar dengan 52 bertolak belakang 

   3y = 52 

     y = 14 

 

Jadi nilai x + y + z = 60 + 14 + 13 = 87.

 

C. Hubungan Sudut-sudut pada dua Garis Sejajar

Mari perhatikan tabel berikut.

 

Tabel Hubungan sudut-sudut pada dua garis sejajar

Contoh 7.14 

Perhatikan gambar berikut.

Tentukan nilai x.

Alternatif Penyelesaian:

Karena garis k//l, akibatnya besar sudut 3x dengan besar sudut 60° membentuk sudut berpelurus.

3x + 60  = 180  [berpelurus]

3x  = 180 – 60    

3x  = 120  

x   = 40   

Jadi nilai x = 40°

 

Contoh 7.15

Perhatikan gambar berikut. 

Tentukan nilai x-nya.

Alternatif Penyelesaian:

Sudut (2x + 10°) dengan sudut 70° merupakan sudut sehadap, sehingga kedua sudut tersebut besarnya sama, yakni sebagai berikut. 

2x + 10  = 70  [sehadap]

2x = 70 – 10    

2x = 60     

 x  = 30   

Jadi, nilai x = 30°
 

 

Contoh 7.16

Perhatikan gambar berikut.

Tentukan nilai x-nya.

Alternatif Penyelesaian: 

Sudut (3x + 15°) dengan sudut 70° merupakan sudut dalam bersebrangan, sehingga besar kedua sudut tersebut adalah sama, yakni sebagai berikut. 

3x + 15   = 75  [bersebrangan dalam] 

3x  = 75 – 15  

3x  = 60   

  x  = 20   

Jadi, nilai x = 20°
 

 

Contoh 7.17

Perhatikan gambar berikut.

Tentukan nilai x-nya.

Alternatif Penyelesaian:

Sudut (2x + 10°) dengan sudut 30° merupakan sudut dalam sepihak, sehingga kedua sudut membetuk sudut berpelurus, yakni sebagai berikut. 

(2x + 10) + 30° = 180°  [berpelurus]

2x + 40° = 180°     

2x   = 180° – 40°    

2x   = 140°    

 x   = 70°   

Jadi, nilai x = 70°

Ayo Kita Berlatih 7.4 

1. Tentukanlah nilai a pada setiap gambar di bawah ini.
 

2. Jika  sudut A =  $\frac{2}{5}$ sudut B.
Hitunglah. 

a. m∠A dan m∠B jika keduanya saling berpelurus! 

b. Selisih m∠A dan m∠B, jika kedua sudut saling berpenyiku!
 

 

3. Jika m∠A – m∠B = 70°, dan m∠A adalah tiga kali m∠B. Hitunglah! 

a. m∠A + m∠B. 

b. Pelurus sudut A. 

 

 

4. Perhatikan  gambar di bawah ini.

Sebutkanlah  pasangan: 

a. Sudut-sudut sehadap. 

b. Sudut-sudut sepihak [dalam dan luar]. 

c. Sudut-sudut berseberangan [dalam dan luar].

5. Perhatikan posisi setiap pasangan sudut pada gambar di bawah. 

Tentukanlah nilai x.
 

 

6. Selidikilah benar tidaknya pernyataan berikut ini. “Ukuran suatu sudut lancip sama dengan selisih pelurusnya dengan dua kali penyikunya.“ 

 

 

7. Salinlah gambar berikut ini, 

kemudian tentukanlah besar sudut yang belum diketahui.! Tentukanlah besar sudut: 

a. ∠ABC 

b. ∠ACB 

c. ∠ACG 

d. ∠FCG
 

 

8. Perhatikan gambar berikut!

Besar sudut nomor 1 adalah 95°, dan besar sudut nomor 2 adalah 110°. Besar sudut nomor 3 adalah.…    [UN SMP 2010]

a.   5°

b.   15°

c.   25°

d.   35°

 

 

9. Perhatikan gambar!  

Besar ∠BAC adalah ….    [UN SMP 2011]

a.   24° 

b.   48° 

c.   72° 

d.   98° 

 

 

10. Diketahui garis L1 sejajar garis L2 dan garis L3 sejajar garis L4 

Besar sudut y – x adalah ….  [OSK SMP 2014] 

a. 0°

b. 10°

c. 30°

d. 50°

7.5 Melukis Sudut Istimewa 

Ayo Kita Berlatih 7.5 

Sumber: Buku Paket Matematika Kelas 7 SMP Semester 2 Kurikulum 2013 Revisi 2017 yang diterbitkan Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.